וידאו · תרגילים מסוגים שונים
סדרה חשבונית 21.09.20 - 1
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בפעם זו הוגדרו המושגים הבסיסיים בסדרות חשבוניות: איבר במקום ה-n, אינדקס, איבר פתיחה ואיבר סיום, וההבחנה בין הפרש הסדרה לבין הפרשים בין איברים שאינם סמוכים. הובהרה החשיבות לדעת תמיד מי איבר הפתיחה, מי איבר הסיום ומהו הפרש הסדרה לפתירת תרגילים.
- להבין מהו איבר במקום ה-n בסדרה חשבונית
- לזהות וללמוד את משמעות האינדקסים בסדרה
- להבדיל בין איבר פתיחה ואיבר סיום בסדרה
- להכיר את הפרש הסדרה (d) ולהבין את משמעויותיו
- למידה כיצד לנווט ולקבוע נתונים בסדרה כדי לפתור תרגילים באופן מדויק
- הגדרת איברים בסדרה חשבונית: הוגדם המושגים 'איבר במקום ה-n', 'אינדקס' וההמשכיות של הסדרה דרך האיברים השונים.
- איבר פתיחה ואיבר סיום: ההבחנה בין תחילת וקצה חלק מהסדרה, לדוגמא עשרה איברים בסדרה ממוספרים a1 עד a10, כאשר a1 הוא איבר פתיחה ו-a10 הוא איבר סיום.
- הפרש הסדרה והפרשים בין איברים: הבהרה שאפשר לחשב הפרשים בין איברים סמוכים והפרשים כפולים בין איברים רחוקים, כאשר הפרש הסדרה d הוא ההפרש בין שני איברים סמוכים בלבד.
תרגול קצר
איתור איבר פתיחה ואיבר סיום במקטע
רמת קושי: קל
נתונה סדרה חשבונית עם איברים מ-a1 עד a15. מצא מי הוא איבר הפתיחה ומי איבר הסיום של המקטע הכולל את a7 עד a12.
רמז: איבר הפתיחה הוא האיבר הראשון במקטע, ואיבר הסיום הוא האחרון.
פתרון מלא
תשובה סופית: איבר הפתיחה: a7 איבר הסיום: a12
המקטע מתחיל ב-a7 ולכן a7 הוא איבר הפתיחה. הוא מסתיים ב-a12, ולכן a12 הוא איבר הסיום.
חישוב הפרש הסדרה במקטע איברים
רמת קושי: בינוני
במקטע של סדרה חשבונית הכולל את האיברים a3, a5, a7, הפרש בין a3 ל-a5 הוא 6. מהו הפרש הסדרה d?
רמז: הפרש בין a3 ל-a5 מחושב באמצעות שני הפרשים של d, כי הם אינם סמוכים.
פתרון מלא
תשובה סופית: d = 3
המרחק בין a3 ל-a5 הוא 2 איברים, כלומר הפרש = 2d. לכן, 2d = 6 ⇒ d = 3.
קביעת איבר פתיחה וסיום, ואימות הפרש
רמת קושי: בגרות
בהינתן סדרה חשבונית עם איברים מ-a1 עד a10, קבע את איבר הפתיחה, איבר הסיום, והפרש בין איברים זוגיים: a2, a4, a6, a8, a10. הסבר מדוע הפרש בין איברים זוגיים הוא 2d ולא d.
רמז: הפרש הסדרה d הוא בין איברים סמוכים בלבד. הפרש בין איברים הזוגיים מכופל במספר האיברים הקפיץ.
פתרון מלא
תשובה סופית: איבר פתיחה: a1 איבר סיום: a10 הפרש בין איברים זוגיים: 2d
איבר הפתיחה הוא a1, הסיום a10. בין איברים זוגיים הפרש הוא שני צעדים בפרש d, לכן ההפרש בין a2 ל-a4 הוא 2d.
דרך הפתרון
פתרון בעיה – זיהוי איבר פתיחה, איבר סיום והפרש בסדרה חשבונית
הבנה בסיסית של סידורים ומושגי סדרה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מי הוא איבר הפתיחה של המקטע / מי הוא איבר הסיום של המקטע / מהו הפרש הסדרה d
- נתון 1
סדרה חשבונית עם איברים מ-a1 עד a10
- נתון 2
נתון 2
הפרש בין איברים סמוכים הוא d - רעיון
הרעיון המרכזי
נזהה את האיבר הראשון והשני לפי האינדקסים, ונקבע הפרש בין איברים סמוכים.
- נוסחה
הפרש בין איברים סמוכים הוא d
a_n - a_(n-1) = da_n - a_n-1 = d - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
איבר הפתיחה הוא a1, איבר הסיום הוא a10, והפרש הסדרה הוא d
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הסדרה מ-a1 עד a10
זיהוי נתונים
הסדרה מ-a1 עד a10
מה עושים
יש 10 איברים בסדרה מ-a1 ועד a10
למה
על מנת לדעת מהו תחום המקטע עליו עובדים
הסדרה היא חשבונית והאינדקסים שלה הם מ-1 עד 10
2זיהוי נתונים
הפרש הסדרה
זיהוי נתונים
הפרש הסדרה
מה עושים
הפרש בין איברים סמוכים הוא d
למה
חלק מההגדרה של סדרה חשבונית
d הוא הפרש בין a2 ל-a1, בין a3 ל-a2 וכן הלאה
3בחירת שיטה
זיהוי איבר פתיחה
בחירת שיטה
זיהוי איבר פתיחה
מה עושים
הגדר את איבר הפתיחה כממוקם במיקום הכי קטן במקטע
למה
האיבר בעל האינדקס הנמוך ביותר הוא הפתיחה
במקטע מ- a1 עד a10, איבר הפתיחה הוא a1
4בחירת שיטה
זיהוי איבר סיום
בחירת שיטה
זיהוי איבר סיום
מה עושים
הגדר את איבר הסיום כמקום בעל האינדקס הגבוה ביותר במקטע
למה
האיבר בעל האינדקס הגבוה ביותר הוא הסיום
במקטע מ- a1 עד a10, איבר הסיום הוא a10
5בניית משוואה
הבהרת הפרש הסדרה
בניית משוואה
הבהרת הפרש הסדרה
מה עושים
הפרש בין איברים סמוכים הוא d
למה
כמו שהוגדר בסדרה חשבונית
d אינו משתנה בין איברים סמוכים
נוסחה / הצבה
a_n - a_(n-1) = da_n - a_n-1 = d6תשובה
סיכום התשובות
תשובה
סיכום התשובות
מה עושים
איבר הפתיחה הוא a1, איבר הסיום הוא a10, והפרש הסדרה הוא d
למה
בהגדרה של סדרה חשבונית עם אינדקסים מ-1 עד 10
סכמנו את הנתונים החשובים לפתירת תרגילים בסדרות
פתרונות כלליים
- איתור איבר פתיחה ואיבר סיום במקטע: המקטע מתחיל ב-a7 ולכן a7 הוא איבר הפתיחה. הוא מסתיים ב-a12, ולכן a12 הוא איבר הסיום.
- חישוב הפרש הסדרה במקטע איברים: המרחק בין a3 ל-a5 הוא 2 איברים, כלומר הפרש = 2d. לכן, 2d = 6 ⇒ d = 3.
- קביעת איבר פתיחה וסיום, ואימות הפרש: איבר הפתיחה הוא a1, הסיום a10. בין איברים זוגיים הפרש הוא שני צעדים בפרש d, לכן ההפרש בין a2 ל-a4 הוא 2d.