וידאו · נגזרת - טכניקה טריגונומטרית
א2. ניגזרות טכניקה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד ניגזור פונקציות טריגונומטריות המשתמשות בזהויות טריגונומטריות חשובים, נדגיש עבודה עם רדיאנים וניישם זאת למציאת משוואות משיקים בגרפים טריגונומטריים.
- להכיר ולהשתמש בזהויות טריגונומטריות חשובים
- ליישם כללים לגזירת פונקציות טריגונומטריות עם חזקות ומקדמים פנימיים
- להבין את חשיבות השימוש ברדיאנים בחישובים טריגונומטריים
- לפתח יכולת להציב נקודות ולחשב את ערך הפונקציה והנגזרת בנקודה
- ללמוד להרכיב משוואות משיקים לגרפים של פונקציות טריגונומטריות
- זהויות טריגונומטריות בסיסיות: הנושא כולל זהויות כמו סינוס alpha פלוס מינוס beta וקוסינוס alpha פלוס מינוס beta, אשר חשובות להמרת ביטויים טריגונומטריים לצורך גזירה.
- גזירת פונקציות טריגונומטריות עם חזקות: דוגמה של גזירת הביטוי קוסינוס במעלות עם חזקות, תוך שימוש בנגזרת של קוסינוס ומחשבים את הנגזרת הפנימית.
- החשיבות בשימוש ברדיאנים: ברדיאנים הם היחידה בה עובדים בחישובים טריגונומטריים, ויש להגדיר את המחשבון כך שיעבוד במצב רדיאנים ולא במעלות.
- חישוב נקודת משיק לפונקציה טריגונומטרית: מציבים נקודת X בנקודה הנתונה, מחשבים את ערך הפונקציה ונגזרתה בנקודה, ומרכיבים משוואת משיק לפונקציה בגרף.
תרגול קצר
גזור את הביטוי cos^2(3x) - sin^2(3x)
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה f(x)=cos^2(3x)-sin^2(3x) לפי x.
רמז: השתמש בזהות cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a) ולאחר מכן בצע נגזרת לקוסינוס עם כלל השרשרת.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = -6sin(6x)
נתחיל מהזהות f(x)=cos^2(3x)-sin^2(3x)=cos(6x). הנגזרת היא f'(x) = d/dx cos(6x) = -sin(6x)*6 = -6sin(6x).
מצא את משוואת המשיק לפונקציה y=cos^2(2x) בנקודה x=π/2
רמת קושי: בינוני
בפונקציה y=cos^2(2x), מצא את משוואת המשיק בנקודה שבה x=π/2.
רמז: 1. חשב את y בנקודה על ידי הצבת x=π/2. 2. חשב את הנגזרת y' וחושב את ערכה בנקודה זו. 3. הרכב את משוואת המשיק y - y0 = m (x - x0).
פתרון מלא
תשובה סופית: y = 1
1. חישוב y0: y(π/2)=cos^2(2*(π/2))=cos^2(π)=(-1)^2=1. 2. נגזרת y' = 2*cos(2x)(-sin(2x))*2 = -4 sin(2x) cos(2x) = -2 sin(4x). ניטל את הזהות sin(2a)cos(2a) = 1/2 sin(4a). 3. חישוב y'(π/2) = -2 sin(4*(π/2))= -2 sin(2π) = 0. 4. משוואת המשיק היא y - 1 = 0*(x - π/2), לכן y=1.
דרך הפתרון
מציאת משוואת המשיק לפונקציה y=cos²(2x) בנקודה x=π/2
תרגיל ליישום נגזרת ופיתוח משוואת משיק בטריגונומטריה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא משוואת המשיק בנקודה x=π/2
- נתון 1
נתון 1
y = cos^2(2x) - נתון 2
נתון 2
נקודה x = π/2 - רעיון
הרעיון המרכזי
נציב את x בנקודה, נמצא y, נגזור את הפונקציה ונחשב את הנגזרת בנקודת x ונשתמש במשוואת ישר המשיק.
- נוסחה
השתמש בכלל השרשרת לגזירת ריבוע קוסינוס
y' = 2 cos(2x) * (-sin(2x)) * 2y' = 2 * (2x) * (-(2x)) * 2 - משוואה
פונקציה y=cos²(2x), נקודת חיתוך x=π/2
פונקציה y=cos²(2x), נקודת חיתוך x=π/2
- פישוט
הציב x=π/2 בפונקציה y=cos^2(2x)
הציב x=π/2 בפונקציה y=cos^2(2x)
- תוצאה
מסיימים בתשובה
y - y0 = m(x - x0) עם m=0 וy0=1, x0=π/2
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתוני הבעיה
זיהוי נתונים
נתוני הבעיה
מה עושים
פונקציה y=cos²(2x), נקודת חיתוך x=π/2
למה
כדי לעבוד על הנקודה הנתונה והפונקציה המדוברת
נתון הביטוי ופוזיצית ה-X שבה נרצה להוציא את המשוואה
2פתרון
חישוב y בערך x=π/2
פתרון
חישוב y בערך x=π/2
מה עושים
הציב x=π/2 בפונקציה y=cos^2(2x)
למה
כדי למצוא נקודת פואינט על הגרף המשמשת במשוואת המשיק
y(π/2)=cos^2(2*π/2)=cos^2(π)=(-1)^2=1
השתמש בזהויות טריגונומטריות לזווית π
3בניית משוואה
נגזרת הפונקציה y=cos^2(2x)
בניית משוואה
נגזרת הפונקציה y=cos^2(2x)
מה עושים
השתמש בכלל השרשרת לגזירת ריבוע קוסינוס
למה
נדרש למצוא שיפוע המשיק כנגזרת בפונקציה בנקודה
y’=2·cos(2x)·(-sin(2x))·2 = -4 sin(2x) cos(2x)
נוסחה / הצבה
y' = 2 cos(2x) * (-sin(2x)) * 2y' = 2 * (2x) * (-(2x)) * 2שימו לב לחוק השרשרת ולנגזרת הפנימית כפול 2x
4פתרון
פישוט הנגזרת
פתרון
פישוט הנגזרת
מה עושים
השתמש בזהויות sin(2a)cos(2a) = 1/2 sin(4a)
למה
לפשט את הנגזרת לביטוי פשוט יותר לנוחות חישוב
y' = -4 sin(2x) cos(2x) = -2 sin(4x)
הזהות מפשטת את הביטוי מהריבועים לזווית כפולה
5פתרון
חשב y'(π/2)
פתרון
חשב y'(π/2)
מה עושים
נציב x=π/2 בביטוי y' = -2 sin(4x)
למה
לקבלת שיפוע המשיק בנקודה
y'(π/2) = -2 sin(4 * π/2) = -2 sin(2π) = 0
זכור ש-sin(2π) = 0
6פתרון
הרכב משוואת המשיק
פתרון
הרכב משוואת המשיק
מה עושים
y - y0 = m(x - x0) עם m=0 וy0=1, x0=π/2
למה
לסיים מציאת ישר המשיק לנקודה ופונקציה
y - 1 = 0 * (x - π/2) לכן y=1
נגזרת 0 פירושה ישר אופקי
פתרונות כלליים
- גזור את הביטוי cos^2(3x) - sin^2(3x): נתחיל מהזהות f(x)=cos^2(3x)-sin^2(3x)=cos(6x). הנגזרת היא f'(x) = d/dx cos(6x) = -sin(6x)*6 = -6sin(6x).
- מצא את משוואת המשיק לפונקציה y=cos^2(2x) בנקודה x=π/2: 1. חישוב y0: y(π/2)=cos^2(2*(π/2))=cos^2(π)=(-1)^2=1. 2. נגזרת y' = 2*cos(2x)(-sin(2x))*2 = -4 sin(2x) cos(2x) = -2 sin(4x). ניטל את הזהות sin(2a)cos(2a) = 1/2 sin(4a). 3. חישוב y'(π/2) = -2 sin(4*(π/2))= -2 sin(2π) = 0. 4. משוואת המשיק היא y - 1 = 0*(x - π/2), לכן y=1.