וידאו · נגזרת - טכניקה טריגונומטרית
א1. ניגזרות טכניקה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור על נגזרות פונקציות טריגונומטריות תוך שימוש בנוסחאות טריגונומטריות וטכניקות דיפרנציאציה עם דגש על חשיבות היררכיית הגזירה וניקוי ביטויים בתהליך.
- לגזור פונקציות טריגונומטריות שונות הכוללות סינוס, קוסינוס וטנגנס
- להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות להקל על חישוב הנגזרות
- להבין וליישם את כלל השרשרת בנגזרת של פונקציות מורכבות
- לזהות מתי רצוי להשתמש בזהויות טריגונומטריות לפישוט הביטויים לפני הגזירה
- הקדמה לנגזרות טריגונומטריות: סבר על החשיבות של שימוש נכון בנוסחאות טריגונומטריות בזמן גזירת פונקציות ומדגיש את הצורך בזיהוי והפעלה מדויקת של כלל השרשרת והיררכיית הגזירה.
- דוגמאות אמיתיות: הנחיות ביצוע נגזרות על אברי ביטוי הכוללים סינוס וקוסינוס בחזקות או הראשון עם משתנה כפול, וכן דוגמאות לפישוט ביטוי לפני הגזירה באמצעות זהויות טריגונומטריות.
תרגול קצר
נגזרת של סינוס וקוסינוס עם מקדם
רמת קושי: קל
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = sin x + 3 cos x + 5 cos^6 (2x).
רמז: זכור להפעיל את כלל השרשרת עבור הביטוי בחזקה שישה ואת המכפלה של 2x.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = cos x - 3 sin x - 60 cos^5 (2x) sin (2x)
נגזרת של sin x היא cos x נגזרת של 3 cos x היא 3 כפול נגזרת cos x = 3*(-sin x) = -3 sin x נגזרת של 5 cos^6 (2x): - מורידים את החזקה: 5 * 6 * cos^5 (2x) * נגזרת הפנימית של cos (2x) - נגזרת של cos (2x) היא -sin(2x) * 2 לכן, 5*6*cos^5(2x)* -sin(2x)*2 = -60 cos^5(2x) sin(2x) נחבר את התוצאות: f'(x) = cos x - 3 sin x - 60 cos^5 (2x) sin (2x)
נגזרת של מכפלת סינוס וקוסינוס
רמת קושי: בינוני
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = 2 sin x cos x.
רמז: השתמש בכלל המכפלה ודאג לזכור את נגזרות סינוס וקוסינוס.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = 2 (cos^2 x - sin^2 x)
f'(x) = נגזרת של 2 sin x cos x = 2 * (cos x * cos x + sin x * (- sin x)) = 2 (cos^2 x - sin^2 x)
דרך הפתרון
נגזרת פונקציה טריגונומטרית מורכבת
חישוב נגזרת של f(x) = sin x + 3 cos x + 5 cos^6 (2x)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא f'(x) - נגזרת הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
f(x) = sin x + 3 cos x + 5 cos^6 (2x) - רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב נגזרת של כל איבר בנפרד, תוך שימוש בכלל השרשרת והפעלת נגזרות של פונקציות טריגונומטריות,
- נוסחה
לסכם את הנגזרות של האיברים
f'(x) = cos x - 3 sin x - 60 cos^5 (2x) sin (2x) - משוואה
לגזור את sin x ו-3 cos x בנפרד
לגזור את sin x ו-3 cos x בנפרד
נגזרת סינוס x = קוסינוס xנגזרת קוסינוס x = מינוס סינוס xd/dx sin x = cos xd/dx cos x = -sin x - פישוט
מורידים חזקה, מכפילים ונגזרים את cos(2x) עם כלל השרשרת
מורידים חזקה, מכפילים ונגזרים את cos(2x) עם כלל השרשרת
נגזרת של cos_pow6 (2x)= 6 * cos_pow5 (2x) * נגזרת של cos(2x) - תוצאה
מסיימים בתשובה
קרא את הפונקציה והבהר את האיברים שבה
- בדיקה
בדיקה קצרה
- כפל נכון של הנגזרת הפנימית בחלק עם 2x
- זיהוי נכון של כלל השרשרת
- זהירות: שכחת להפעיל את כלל השרשרת בנגזרת cos^6 (2x)
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
זיהוי הפונקציה
זיהוי נתונים
זיהוי הפונקציה
מה עושים
קרא את הפונקציה והבהר את האיברים שבה
למה
נדרשים לגזור כל איבר בנפרד
f(x) = sin x + 3 cos x + 5 cos^6 (2x)
2בחירת שיטה
הפעלת כלל השרשרת
בחירת שיטה
הפעלת כלל השרשרת
מה עושים
השתמש בכלל השרשרת בגזירת החזקות ובפונקציה עם משתנה פנימי
למה
הנגזרת של חזקות ופונקציות עם '2x' דורשת הכפלה בנגזרת הפנימית
זכור שכאשר יש חזקה ומקדם פנימי צריך להוריד את החזקה ולהכפיל בנגזרת הפנימית
3בניית משוואה
נגזרת של sin x ו-3 cos x
בניית משוואה
נגזרת של sin x ו-3 cos x
מה עושים
לגזור את sin x ו-3 cos x בנפרד
למה
לפי נוסחאות הנגזרת של פונקציות טריגונומטריות
נוסחה / הצבה
נגזרת סינוס x = קוסינוס xנגזרת קוסינוס x = מינוס סינוס xd/dx sin x = cos xd/dx cos x = -sin x4פתרון
נגזרת של 5 cos^6 (2x)
פתרון
נגזרת של 5 cos^6 (2x)
מה עושים
מורידים חזקה, מכפילים ונגזרים את cos(2x) עם כלל השרשרת
למה
חזקת 6 מחייבת הורדה והכפלה בנגזרת הפנימית
נוסחה / הצבה
נגזרת של cos_pow6 (2x)= 6 * cos_pow5 (2x) * נגזרת של cos(2x)נגזרת של cos(2x) = -sin(2x) * 2d/dx [cos(2x)]^6= 6 cos^5 (2x) * d/dx cos(2x)תזכור להכפיל ב-2 (נגזרת של 2x)
5פתרון
הרכבת הנגזרת הכוללת
פתרון
הרכבת הנגזרת הכוללת
מה עושים
לסכם את הנגזרות של האיברים
למה
ביטוי הסופי הוא סיכום נגזרות כל האיברים
נוסחה / הצבה
f'(x) = cos x - 3 sin x - 60 cos^5 (2x) sin (2x)פתרונות כלליים
- נגזרת של סינוס וקוסינוס עם מקדם: נגזרת של sin x היא cos x נגזרת של 3 cos x היא 3 כפול נגזרת cos x = 3*(-sin x) = -3 sin x נגזרת של 5 cos^6 (2x): - מורידים את החזקה: 5 * 6 * cos^5 (2x) * נגזרת הפנימית של cos (2x) - נגזרת של cos (2x) היא -sin(2x) * 2 לכן, 5*6*cos^5(2x)* -sin(2x)*2 = -60 cos^5(2x) sin(2x) נחבר את התוצאות: f'(x) = cos x - 3 sin x - 60 cos^5 (2x) sin (2x)
- נגזרת של מכפלת סינוס וקוסינוס: f'(x) = נגזרת של 2 sin x cos x = 2 * (cos x * cos x + sin x * (- sin x)) = 2 (cos^2 x - sin^2 x)