וידאו · נקודות קיצון
א2. מציאת קיצון על פונקצית פולינום
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד כיצד למצוא נקודות קיצון של פונקציית פולינום באמצעות גזירה, פתרון משוואות וניתוח סימני הנגזרת לשם קביעת מקסימום ומינימום.
- לזהות תחום הגדרה של פולינום ללא הגבלות
- לחשב נגזרת של פונקציית פולינום ולפתור משוואות נגזרת שווה אפס
- לבצע בדיקות להצבת ערכי נקודות קיצון במקור
- לזהות תחומי עלייה וירידה של הפונקציה באמצעות סימני הנגזרת
- לקבוע האם נקודות הקיצון הן מינימום או מקסימום
- תחום ההגדרה: הפונקציה המוצגת היא פולינום שאין לה הגבלות תחום כגון מחלקים, שורשים או לוגים, ולכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.
- גזירת הפונקציה ומציאת נקודות קיצון: נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס למציאת נקודות קיצון אפשריות. נשתמש ביציאת גורמים ופתרון משוואות כדי למצוא את ערכי ה-x המתאימים.
- בדיקת נקודות קיצון במקור: נציב את ערכי ה-x של נקודות הקיצון בפונקציה המקורית לוודא שחישוב הנגזרת נכון ושנקודות אלו אכן נקודות קיצון.
- ניתוח סימני הנגזרת לקביעת תחומי עלייה וירידה: נבדוק את סימן הנגזרת בערכים בין נקודות הקיצון כדי לקבוע האם הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום וכך לקבוע האם נקודת הקיצון היא מקסימום או מינימום.
תרגול קצר
מציאת נקודות קיצון לפונקציית פולינום
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = x⁴ - 2x³ + x². מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וחלץ את סוג כל נקודה (מינימום או מקסימום).
רמז: גזור את הפונקציה, השווה את הנגזרת לאפס, פתח את המשוואה, פתר את שורשיה, נתח את סימני הנגזרת בין נקודות אלו.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות הקיצון הן x=0, x=0.5, x=1. נקודת מקסימום ב-x=0.5. נקודות מינימום ב-x=0 ו-x=1.
1. נגזור: y' = 4x³ - 6x² + 2x 2. נשווה ל-0: 4x³ - 6x² + 2x = 0 3. נוציא גורם משותף: 2x(2x² - 3x + 1) = 0 4. פתרון: 2x=0 → x=0 2x² - 3x + 1=0 → x=1 או x=0.5 5. נבדוק את הכיוון של y' בין הנקודות כדי לקבוע עלייה וירידה ולסווג נקודות קיצון
דרך הפתרון
מציאת נקודות קיצון של פונקציית פולינום
המדריך למציאת נקודות קיצון והבנת סוגן
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה / סיווג כל נקודה כמקסימום או מינימום
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה y = x^4 - 2x^3 + x^2 - רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא את הנגזרת, להשוותה ל-0, לפתור את המשוואה, לבדוק סימני הנגזרת בין הנקודות, לקבוע תחומי
- נוסחה
פתור את המשוואה y' = 0.
4x^3 - 6x^2 + 2x = 04x³ - 6x² + 2x = 04x^(3) - 6x^(2) + 2x = 0 - משוואה
הוצא גורם משותף 2x ופתור את המשוואה.
הוצא גורם משותף 2x ופתור את המשוואה.
2x (2x^2 - 3x + 1) = 02x(2x² - 3x + 1) = 02x(2x^(2) - 3x + 1) = 0 - פישוט
קבע כל פקטור שווה לאפס ופתור.
קבע כל פקטור שווה לאפס ופתור.
2x=0 => x=02x^2 - 3x + 1=0 => x=1 or x=0.5 - תוצאה
מסיימים בתשובה
הצבת ערכי ביניים בין נקודות הקיצון בנגזרת y' לקביעת סימן.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- האם מצאתם את תחום ההגדרה?
- האם נגזרת הפונקציה מחושבת נכון?
- זהירות: שכחה להוציא גורם משותף לפני פתרון y' = 0
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון הפונקציה
זיהוי נתונים
נתון הפונקציה
מה עושים
הפונקציה y = x⁴ - 2x³ + x² מוכרת.
למה
זיהוי הפונקציה נחוץ להתחיל בניתוח.
2בחירת שיטה
גזור את הפונקציה
בחירת שיטה
גזור את הפונקציה
מה עושים
חשבו את הנגזרת y' של הפונקציה.
למה
הנגזרת מצביעה על נקודות קיצון אפשריות כשווה ל-0.
נוסחה / הצבה
y' = 4x^3 - 6x^2 + 2xy' = 4x³ - 6x² + 2xy' = 4x^(3) - 6x^(2) + 2xשמרו על סדר פעולות נכון בגזירה.
3בניית משוואה
השווה הנגזרת ל-0
בניית משוואה
השווה הנגזרת ל-0
מה עושים
פתור את המשוואה y' = 0.
למה
כדי לקבל נקודות שבהן השיפוע של הפונקציה מתאפס.
נוסחה / הצבה
4x^3 - 6x^2 + 2x = 04x³ - 6x² + 2x = 04x^(3) - 6x^(2) + 2x = 0הוצא גורם משותף לפני פתירת המשוואה.
4פתרון
פתור משוואה עם גורמים
פתרון
פתור משוואה עם גורמים
מה עושים
הוצא גורם משותף 2x ופתור את המשוואה.
למה
המשוואה מתפרקת לפקטורים שקל לפתור כל אחד בנפרד.
נוסחה / הצבה
2x (2x^2 - 3x + 1) = 02x(2x² - 3x + 1) = 02x(2x^(2) - 3x + 1) = 0פצל את המשוואה לאפס כל פקטור בנפרד.
5פתרון
מציאת ערכי x
פתרון
מציאת ערכי x
מה עושים
קבע כל פקטור שווה לאפס ופתור.
למה
ככה מקבלים את ערכי ה-x של נקודות הקיצון.
נוסחה / הצבה
2x=0 => x=02x^2 - 3x + 1=0 => x=1 or x=0.52x=0 → x=02x² - 3x + 1=0 → x=1 או x=0.52x^(2) - 3x + 1=0 => x=1 or x=0.5פתור משוואה ריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
6בחירת שיטה
בדוק סימני הנגזרת
בחירת שיטה
בדוק סימני הנגזרת
מה עושים
הצבת ערכי ביניים בין נקודות הקיצון בנגזרת y' לקביעת סימן.
למה
סימני הנגזרת בין נקודות הקיצון מראים את תחומי העלייה והירידה.
בדוק האם y' חיובית או שלילית בכל תחום בין נקודות הקיצון.
פתרונות כלליים
- מציאת נקודות קיצון לפונקציית פולינום: 1. נגזור: y' = 4x³ - 6x² + 2x 2. נשווה ל-0: 4x³ - 6x² + 2x = 0 3. נוציא גורם משותף: 2x(2x² - 3x + 1) = 0 4. פתרון: 2x=0 → x=0 2x² - 3x + 1=0 → x=1 או x=0.5 5. נבדוק את הכיוון של y' בין הנקודות כדי לקבוע עלייה וירידה ולסווג נקודות קיצון