וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית
א1. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בלימוד נגזרות של פונקציות מעריכיות, לוגריתמיות וטריגונומטריות, מתוך הבנת ההבדלים מהנגזרות הרגילות. משודר התמקדות בשימוש בחוקים הנכונים ובחשיבות זיהוי סוג הפונקציה לגזירה נכונה.
- להבין את ההבדלים בין נגזרות פונקציות רגילות לבין פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- ללמוד את חוקי הגזירה לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- להכיר טעויות נפוצות בגזירה ולהימנע מהן
- לתרגל גזירה של פונקציות מורכבות הכוללות חיבור כפולות ומקדמים
- להבין את חשיבות זיהוי הפונקציה ויישום נגזרת פנימית
- הגדרת פונקציות רגילות וחדשות: שימוש בדוגמאות לפונקציות רגילות כמו x בריבוע, שורש וכו' לעומת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. ההבדל בשיטות גזירה.
- חוקי גזירה לפונקציות מעריכיות: הצגת חוק הגזירה לפונקציות כמו a^x, כאשר נגזרת היא a^x פי לוג נאר של a. התמקדות בשמירת המקדם וכפל בנגזרת הפנימית.
- חשיבות ההתייחסות נכונה לפונקציה: טעות נפוצה בפירוש הפונקציה גורמת לטעות בגזירה ולדחיית התרגיל בבגרות. החשיבות בזיהוי נכון של פונקציה מעריכית ולא חשיבתה כפונקציה רגילה.
- שימוש בכלל הנגזרת הפנימית: הדגשה על הצורך להשתמש בנגזרת הפנימית כאשר x מוחלף בפונקציה מורכבת, לדוגמא x בריבוע פחות 30 x וכן הלאה.
תרגול קצר
גזור את הפונקציה f(x) = 7^x
רמת קושי: קל
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = 7 בחזקת x.
רמז: השתמש בחוק הנגזרת של פונקציה מעריכית a בחזקה x: נגזרת היא a^x כפול ln(a) כפול נגזרת הפנימית של x.
פתרון מלא
תשובה סופית: 7^x כפול ln(7)
הנגזרת היא 7^x * ln(7) * נגזרת של x = 7^x * ln(7) * 1 = 7^x * ln(7)
גזור את הפונקציה g(x) = 5^ (x^2 - 3x)
רמת קושי: בינוני
חשב את הנגזרת של הפונקציה g(x) = 5 בחזקת (x בריבוע מינוס 3x).
רמז: השתמש בכלל השרשרת: נגזרת הפונקציה המעריכית כפול נגזרת הפונקציה הפנימית בתוך החזקה.
פתרון מלא
תשובה סופית: 5^(x² - 3x) * ln(5) * (2x - 3)
הנגזרת היא 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * נגזרת הפנימית (x^2 - 3x) = 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * (2x - 3)
גזור את הפונקציה h(x) = x^2 * e^(-x)
רמת קושי: מאתגר
חשב את הנגזרת של הפונקציה h(x) = x בריבוע כפול e בחזקת מינוס x.
רמז: השתמש בכלל מכפלה ונגזרת של פונקציה מעריכית בשילוב נגזרת פונקציה רגילה.
פתרון מלא
תשובה סופית: e^(-x) * (2x - x²)
הנגזרת היא (x^2)' * e^(-x) + x^2 * (e^(-x))' = 2x * e^(-x) + x^2 * e^(-x) * (-1) = e^(-x) * (2x - x^2)
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) = x^2 * e^(-x)
רמת קושי: בגרות
לרדת את הנגזרת של הפונקציה, שווה לאפס, ומצא את נקודות הקיצון של f(x) = x בריבוע כפול e בחזקת מינוס x.
רמז: חשב את הנגזרת ואז מצא את השורשים שלה. נצל הוצאת גורם משותף ופישוט.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x = 0 ו-x = 2
הנגזרת היא e^(-x) * (2x - x^2). שווה ל-0 כאשר e^(-x) = 0 (לא מתקיים) או 2x - x^2 = 0 => x(2 - x) = 0 => x=0 או x=2. נקודות הקיצון הן בנקודות אלו.
דרך הפתרון
חישוב נגזרת של פונקציה מעריכית עם נגזרת פנימית
שלב אחרי שלב חישוב נגזרת של 5^(x^2 - 3x)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הנגזרת g'(x)
- נתון 1
נתון 1
פונקציה: g(x) = 5^(x^2 - 3x) - רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בכלל הגזירה לפונקציה מעריכית עם בסיס קבוע ונחשב נגזרת פנימית של הביטוי שבחזקה.
- נוסחה
g'(x) = 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * (d/dx)(x^2 - 3x)
g'(x) = 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * (2x - 3)g'(x) = 5^(x^2 - 3x) * (5) * (2x - 3) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
חשב את נגזרת הפונקציה הפנימית: (d/dx)(x^2 - 3x) = 2x - 3
חשב את נגזרת הפונקציה הפנימית: (d/dx)(x^2 - 3x) = 2x - 3
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הנגזרת הסופית היא g'(x) = 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * (2x - 3)
- בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי נכון של סוג הפונקציה
- זכור להוסיף ln(a) בנגזרת מעריכית
- זהירות: טעות בזיהוי הפונקציה ומכאן גזירה שגויה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
מה עושים
g(x) = 5^(x^2 - 3x)
למה
זוהי הפונקציה שעליה נחשב את הנגזרת
הפונקציה היא מעריכית כאשר החזקה היא פונקציה פולינומית של x
2בחירת שיטה
שימוש בכלל גזירה מעריכית
בחירת שיטה
שימוש בכלל גזירה מעריכית
מה עושים
הנגזרת של a^u היא a^u ln(a) כפול נגזרת u
למה
חייבים לקחת בחשבון את הפונקציה הפנימית u(x) שבחזקה
u(x) = x^2 - 3x היא פונקציה מורכבת, חשוב לגזור נכון
3בניית משוואה
יצירת ביטוי הנגזרת
בניית משוואה
יצירת ביטוי הנגזרת
מה עושים
g'(x) = 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * (d/dx)(x^2 - 3x)
למה
המשפט מתאר את נגזרת הפונקציה ההרכבתית
נוסחה / הצבה
g'(x) = 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * (2x - 3)g'(x) = 5^(x^2 - 3x) * (5) * (2x - 3)4פתרון
פישוט הנגזרת
פתרון
פישוט הנגזרת
מה עושים
חשב את נגזרת הפונקציה הפנימית: (d/dx)(x^2 - 3x) = 2x - 3
למה
פישוט הנגזרת הפנימית הכרחי להשגת הנגזרת הסופית
שימו לב שחישוב נכון של הנגזרת הפנימית הוא קריטי
5תשובה
תשובת השיעור
תשובה
תשובת השיעור
מה עושים
הנגזרת הסופית היא g'(x) = 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * (2x - 3)
למה
כל שלב בוצע לפי חוקי הגזירה נכון
פתרונות כלליים
- גזור את הפונקציה f(x) = 7^x: הנגזרת היא 7^x * ln(7) * נגזרת של x = 7^x * ln(7) * 1 = 7^x * ln(7)
- גזור את הפונקציה g(x) = 5^ (x^2 - 3x): הנגזרת היא 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * נגזרת הפנימית (x^2 - 3x) = 5^(x^2 - 3x) * ln(5) * (2x - 3)
- גזור את הפונקציה h(x) = x^2 * e^(-x): הנגזרת היא (x^2)' * e^(-x) + x^2 * (e^(-x))' = 2x * e^(-x) + x^2 * e^(-x) * (-1) = e^(-x) * (2x - x^2)
- מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) = x^2 * e^(-x): הנגזרת היא e^(-x) * (2x - x^2). שווה ל-0 כאשר e^(-x) = 0 (לא מתקיים) או 2x - x^2 = 0 => x(2 - x) = 0 => x=0 או x=2. נקודות הקיצון הן בנקודות אלו.