השיעור עוסק בהבנת תחום ההגדרה של פונקציות בשורש ובשבר, כיצד קובעים את תחום ההגדרה באמצעות פתרון אי-שוויונות, והשפעות התחום על מערכת הצירים והתרשים.
לזהות את תחום ההגדרה של פונקציה הכוללת שורש על ידי תנאים על הביטוי מתחת לשורש
להבין השפעת המונה והמכנה על תחום ההגדרה
לפתור אי-שוויונות עם שורש ולהסיק מהם תחום הגדרה מתאים
להבין כיצד תחום ההגדרה משפיע על הציור במערכת הצירים
להבחין בשגיאות נפוצות בכתיבת תחום ההגדרה ולהימנע מהן
תחום הגדרה בפונקציות שורש: כאשר יש שורש, הבסיס הוא שהביטוי מתחת לשורש חייב להיות גדול או שווה לאפס. יש לשים לב לא לכתוב טעות שבה מציבים X גדול שווה אפס במקום לבחון את הערך של הביטוי כולו.
תחום הגדרה בפונקציות שבריות ופניות במכנה: כאשר הביטוי נמצא במכנה של שבר, יש לתנאי שהמכנה לא יהיה אפס ולהוסיף תנאי על הביטוי מתחת לשורש במכנה כדי להתאים לתחום ההגדרה.
שימוש בשתי אי-שוויונות לפתרון תחום ההגדרה: בתרגילים המשלבים ביטויים מורכבים כמו שורש בשבר, יש לפרק את תנאי תחום ההגדרה לאי-שוויונות ולפתור כל אחד מהם בנפרד מבחינה אלגברית, ולאחר מכן להשוות ולהבין כיצד תחום ההגדרה משפיע על מערכת הצירים.

תרגול קצר

תחום ההגדרה של שורש X בריבוע

רמת קושי: קל

ממתין

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = שורש של X בריבוע.

תחום הגדרהשורשאי-שוויונות

רמז: הביטוי מתחת לשורש חייב להיות גדול או שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x ממשיים

השורש של X בריבוע מוגדר כאשר X בריבוע ≥ 0. מכיוון ש-X בריבוע תמיד גדול או שווה לאפס, תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.

תחום הגדרה של פונקציה עם שורש במכנה

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = שורש של (x - 2) חלקי (5 - x).

תחום הגדרהשורש במכנהאי-שוויונות

רמז: מכנה לא יכול להיות אפס, והתוכן תחת השורש במכנה חייב להיות > 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: x ∈ (2,5) או x ∈ (5,∞)

1. התוכן תחת השורש: x - 2 > 0 ⇒ x > 2 2. המכנה: 5 - x ≠ 0 ⇒ x ≠ 5 כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת, יש להיות בתחום שבו x > 2 וגם x ≠ 5. תחום ההגדרה: (2,5) ∪ (5,∞)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

קביעת תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה

לימוד לפתרון תחום הגדרה בשלבים פשוטים

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה
נתון 1
הפונקציה שורש (X - 2) חלקי (5 - X)
נתון 2
בתחתית יש שורש ולכן התוכן חייב להיות חיובי
רעיון
הרעיון המרכזי
קבע תנאי אי-שוויון עבור הביטוי מתחת לשורש ובנוסף תנאי ששבר במכנה מוגדר, ואיחד תוצאות לבניית תחום
נוסחה
קבע ש-X - 2 > 0 כדי שהשורש במכנה יהיה מוגדר
X - 2 > 0
משוואה
מ- X - 2 > 0 מתקבל X > 2, ומ- 5 - X ≠ 0 מתקבל X ≠ 5
מ- X - 2 > 0 מתקבל X > 2, ומ- 5 - X ≠ 0 מתקבל X ≠ 5
פישוט
תחום ההגדרה הוא כל x בתחום (2, 5) ובתחום (5, ∞)
תחום ההגדרה הוא כל x בתחום (2, 5) ובתחום (5, ∞)
תוצאה
מסיימים בתשובה
כתבו את תחום ההגדרה בצורה פורמלית: (2,5) ∪ (5,∞)
(2,5) ∪ (5,∞)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

תנאי על התוכן בשורש

מה עושים

קבע ש-X - 2 > 0 כדי שהשורש במכנה יהיה מוגדר

למה

שורש במכנה חייב להיות חיובי ללא שוויון כדי לא לאפשר חילוק באפס

נוסחה / הצבה

X - 2 > 0

הקפד לזכור שאין שוויון כי אי אפשר חילוק באפס

זיהוי נתונים

תנאי על המכנה עצמו

מה עושים

קבע ש-5 - X ≠ 0 כך שהמכנה לא יהיה אפס

למה

חילוק באפס אינו מוגדר מתמטית

נוסחה / הצבה

5 - X ≠ 05 - X != 0

סמן ש-X ≠ 5

בחירת שיטה

פתור את אי-השוויונות

מה עושים

פתור כל אי שוויון בנפרד

למה

כדי למצוא את תחום הערכים שיקיימו את שני התנאים

בניית משוואה

פתרון האי-שוויונות

מה עושים

מ- X - 2 > 0 מתקבל X > 2, ומ- 5 - X ≠ 0 מתקבל X ≠ 5

למה

קבלת תחום פתרון כדי לבנות את תחום ההגדרה הסופי

פתרון

הרכבת תחום ההגדרה

מה עושים

תחום ההגדרה הוא כל x בתחום (2, 5) ובתחום (5, ∞)

למה

כי x חייב להיות גדול מ-2 ושונה מ-5

איחוד התחומים ללא הנקודה 5

תשובה

תחום ההגדרה הסופי

מה עושים

כתבו את תחום ההגדרה בצורה פורמלית: (2,5) ∪ (5,∞)

למה

זו התוצאה המציגה את ערכי x שמקיימים את כל התנאים

נוסחה / הצבה

(2,5) ∪ (5,∞)

שים לב שהנקודה 5 לא כלולה בקבוצה בגלל המכנה

פתרונות כלליים

תחום ההגדרה של שורש X בריבוע: השורש של X בריבוע מוגדר כאשר X בריבוע ≥ 0. מכיוון ש-X בריבוע תמיד גדול או שווה לאפס, תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.
תחום הגדרה של פונקציה עם שורש במכנה: 1. התוכן תחת השורש: x - 2 > 0 ⇒ x > 2 2. המכנה: 5 - x ≠ 0 ⇒ x ≠ 5 כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת, יש להיות בתחום שבו x > 2 וגם x ≠ 5. תחום ההגדרה: (2,5) ∪ (5,∞)

הפריט הקודם הפריט הבא

ב3. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

ניווט לפי נושאים

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה

הפונקציה שורש (X - 2) חלקי (5 - X)

בתחתית יש שורש ולכן התוכן חייב להיות חיובי

הרעיון המרכזי

קבע ש-X - 2 > 0 כדי שהשורש במכנה יהיה מוגדר

מ- X - 2 > 0 מתקבל X > 2, ומ- 5 - X ≠ 0 מתקבל X ≠ 5

תחום ההגדרה הוא כל x בתחום (2, 5) ובתחום (5, ∞)

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

תנאי על התוכן בשורש

תנאי על המכנה עצמו

פתור את אי-השוויונות

פתרון האי-שוויונות

הרכבת תחום ההגדרה

תחום ההגדרה הסופי

פתרונות כלליים